Regresión lineal múltiple

Caso clínico

Predecir el peso al nacer con varios factores

El peso al nacer no depende solo de la edad gestacional: también influyen la edad materna, el tabaquismo, la nutrición… La regresión lineal múltiple usa varias variables independientes a la vez para predecir una variable dependiente cuantitativa.

Amplía la regresión simple y tiene una ventaja clave: estima el efecto de cada variable ajustado por las demás, lo que permite controlar la confusión.

El modelo

$$Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \dots + \beta_p X_p + \varepsilon$$

Y

Variable dependiente (peso al nacer).

X₁ … Xₚ

Variables independientes o predictoras (edad gestacional, edad materna, tabaquismo…).

β₀

Constante: valor de Y cuando todas las X valen cero.

β₁ … βₚ

Coeficientes de regresión: cuánto cambia Y por cada unidad que aumenta una X manteniendo constantes las demás.

Supuestos

Linealidad

Cada predictor cuantitativo se relaciona linealmente con Y.

Independencia de los residuos

Los errores no están correlacionados. Con datos ordenados en el tiempo se comprueba con la prueba de Durbin-Watson.

Homocedasticidad

La varianza de los residuos es constante. Se comprueba con el gráfico de residuos frente a valores predichos.

Normalidad de los residuos

Se comprueba con un histograma o un gráfico Q-Q de los residuos.

Ausencia de multicolinealidad

Los predictores no deben estar muy correlacionados entre sí. Se valora con el factor de inflación de la varianza (VIF): valores por encima de 5-10 indican un problema.

Bondad de ajuste

R²

Proporción de la variabilidad de Y que explica el modelo. Un R² de 0,70 significa que el modelo explica el 70 % de la variación del peso al nacer.

R² ajustado

Versión del R² que penaliza añadir predictores que aportan poco. Es la que se usa para comparar modelos con distinto número de variables.

RMSE

Raíz del error cuadrático medio: tamaño típico del error de predicción, en las unidades de Y. Cuanto menor, más precisas las predicciones.