Introducción a la probabilidad

Caso clínico

El resultado de una prueba diagnóstica

Un paciente llega con síntomas que te hacen sospechar una enfermedad y le haces una prueba. El resultado puede ser positivo o negativo. La probabilidad permite cuantificar la incertidumbre de ese resultado y tomar mejores decisiones.

Toda la estadística descansa sobre la probabilidad: es lo que nos permite pasar de la intuición a la estimación.

Conceptos fundamentales

Experimento aleatorio

Proceso cuyo resultado no puede predecirse con certeza. Por ejemplo, la glucemia de un paciente elegido al azar.

Espacio muestral (Ω)

Conjunto de todos los resultados posibles. Para una prueba de embarazo, Ω = {positivo, negativo}.

Suceso

Cualquier subconjunto del espacio muestral. Que un paciente sea del grupo sanguíneo A es un suceso.

La probabilidad de un suceso es un número entre 0 (imposible) y 1 (seguro). Si todos los resultados son igual de probables:

$$P(A) = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$$

La ley de los grandes números

Si repites un experimento muchas veces, la frecuencia relativa con la que ocurre un suceso se acerca a su probabilidad teórica. Con pocas repeticiones, el azar domina; con muchas, el resultado se estabiliza.

+1 lanzamiento+10 lanzamientos+100 lanzamientos+1000 lanzamientosEmpezar de cero

Lanzamientos

10

Caras

4

Proporción de caras

40 %

Distancia al 50 %

10 pp

Con pocos lanzamientos la proporción puede alejarse mucho del 50 %. Sigue lanzando.

El teorema de Bayes

Es uno de los resultados más útiles en clínica: permite actualizar la probabilidad de que un paciente tenga una enfermedad cuando conocemos el resultado de una prueba. Responde a la pregunta: si la prueba ha dado positivo, ¿qué probabilidad hay de que mi paciente esté realmente enfermo?

$$P(E \mid +) = \frac{P(+ \mid E)\,P(E)}{P(+)}$$

Las pruebas no son perfectas, así que la respuesta depende tanto de la calidad de la prueba como de lo frecuente que sea la enfermedad (la probabilidad previa). Lo verás en detalle, con una calculadora, en el tema de pruebas diagnósticas.