Distribuciones discretas

Caso clínico

¿Cuántos pacientes responderán al tratamiento?

Pruebas un tratamiento y quieres saber cuántos pacientes responderán. O cuántos casos de una enfermedad poco frecuente aparecerán en un mes en tu área. Para contar sucesos se usan las distribuciones discretas.

A diferencia de las variables continuas, las discretas solo toman valores enteros (0, 1, 2, 3…). Estas distribuciones dan la probabilidad de observar un número concreto de sucesos.

Distribución binomial: éxito o fracaso

En un ensayo, cada paciente, de forma independiente, se cura (éxito) o no se cura (fracaso). La binomial da la probabilidad de obtener k éxitos en n intentos.

Condiciones:

• Número fijo de ensayos (n).
• Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles.
• La probabilidad de éxito (p) es la misma en todos los ensayos.
• Los ensayos son independientes entre sí.

$$P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^{k}\,(1-p)^{n-k} \qquad \text{media} = np$$

Distribución de Poisson: sucesos poco frecuentes

Modela el número de veces que ocurre un suceso en un intervalo de tiempo o de espacio: errores de medicación en una unidad por semana, casos de una enfermedad rara por año en una región.

Condiciones:

• Los sucesos ocurren de forma independiente.
• La tasa media (λ) es constante en el intervalo.
• Dos sucesos no pueden ocurrir exactamente a la vez.

$$P(X = k) = \frac{\lambda^{k}\, e^{-\lambda}}{k!} \qquad \text{media} = \text{varianza} = \lambda$$

BinomialPoisson

Número de pacientes (n)

10

Probabilidad de respuesta (p)

0,60

Número de sucesos (k)

7

P(X = 7)

21,5 %

P(X ≤ 7)

83,3 %

P(X ≥ 7)

38,2 %

Valor esperado

6,0

n · p

Si cada paciente responde con una probabilidad de 60 %, la probabilidad de que respondan exactamente 7 de 10 es del 21,5 %. Pulsa sobre cualquier barra para seleccionarla.

Cómo leer el simulador

• n es el número total de ensayos (pacientes tratados); p, la probabilidad de éxito en cada uno.
• Con p = 0,5 la binomial es simétrica; con p cercana a 0 o a 1 se vuelve asimétrica.
• Con n grande, la binomial se parece cada vez más a una normal.
• En la Poisson, al aumentar λ la distribución se desplaza a la derecha y se vuelve más simétrica.